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题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数 nn ):

先输入一个自然数 n(n≤1000),然后对此自然数按照如下方法进行处理:

  1. 不作任何处理;

  2. 在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半;

  3. 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止.

输入输出格式

输入格式:

1 个自然数 n (n≤1000 )

输出格式:

1 个整数,表示具有该性质数的个数。

输入输出样例

输入样例#1:

6

输出样例#1:

6

说明

满足条件的数为

6,16,26,126,36,136


来,上车!

这题不难,但值得深究。

是的,我想出了五种方法

方法一 递归

递归,f(n)=1+f(1)+f(2)+……+f(n/2),当n较大时会超时,时间为指数级。

代码-超时

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans;
void solve(int m) //统计m所扩展出的数据个数
{
int i;
ans++; //每出现一个原数,累加器加1
for(i=1;i<=m/2;i++) //左边添加不超过原数一半的自然数,作为新原数
dfs(i);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
dfs(n);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

方法二 记忆化搜索

记忆化搜索,实际上是对方法一的改进。设h[i]表示自然数i满足题意三个条件的数的个数。若用递归求解,会重复来求一些子问题。例如在求h[4]时,需要再求h[1]和h[2]的值。现在用h数组记录在记忆求解过程中得出的所有子问题的解,当遇到重复子问题时,直接使用前面记忆的结果。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int h[1001];
void dfs(int m)
{
int i;
if(h[m]!=-1) return;
//说明前面已经求得h[m]的值,直接引用即可,无需再递归
h[m]=1; //表示m本身是一种情况
for(i=1;i<=m/2;i++)
{
dfs(i);
h[m]+=h[i];
}
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
h[i]=-1; //h数组初始化为-1
dfs(n); //由顶到下记忆化递归求解
cout<<h[n];
return 0;
}

方法三 递推

递推,用h(n)表示自然数n所能扩展的数据个数,则h(1)=1,h(2)=2,h(3)=2,h(4)=4,h(5)=4,h(6)=6,h(7)=6,h(8)=10,h(9)=10。分析以上数据,可得递推公式:h(i)=1+h(1)+h(2)+···+h(i/2)。此算法时间复杂度为O(n*n)。

设h[i]-i按照规则扩展出的自然数个数(1≤i≤n)。下表列出了h[i]值及其方案:

ih[i]自然数序列
111
222 12
323 13
444 14 24 124
545 15 25 125
………………
i$1+\sum_{k=1}^{[ \frac{i}{2}]}{h[k]}$i 1i 2i 12i …

由于1为最小非零自然数,因此1无法扩展出其他自然数。自然数i(2≤i≤n)按照规则扩展出的自然数包括i;i左边加上1;左边加上2按规则扩展出的h[2]个自然数……;由于i左邻的自然数不超过[i/2],因此直至i左边加上h[[i/2]]个自然数(这些自然数由[i/2]按规则扩展出)为止。由此得出递推的计数公式:

h[1]=1;

h[i]=$1+\sum_{k=1}^{[ \frac{i}{2}]}{h[k]}$ (2≤i≤n)

从1出发,按照上述公式递推至自然数n,便可得出n按规则扩展出的自然数个数h[n]。

代码:

#include<iostream>
using namespace std;
int h[10001];
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) //按递增顺序计算扩展出的自然数个数
{
h[i]=1; //扩展出的自然数包括i本身
for(int j=1;j<=i/2;j++) //i左边分别加上i···自然数[i/2]按规则扩展出
//的自然数个数
h[i]+=h[j];
}
cout<<h[n];
return 0;
}

方法四 改进方法三

对方法三的改进,定义数组s,s(x)=h(1)+h(2)+···+h(x)h(x)=s(x)-s(x-1),此算法的时间复杂度可降到O(n)。

代码:

#include<iostream>
using namespace std;
int h[10001],s[10001];
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
h[i]=1+s[i/2];
s[i]=s[i-1]+h[i]; //s是h的前缀累加和
}
cout<<h[n];
return 0;
}

方法五 更强的递推

还是用递推,只要作仔细分析,不难发现以下的递推公式:

  • 当i为奇数时,h[i]=h[i-1]
  • 当i为偶数时,h[i]=h[i-1]+h[i/2]

代码:

#include<iostream>
using namespace std;
int h[10001];
int main()
{
int n;
cin>>n;
h[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
h[i]=h[i-1];
if(i%2==0)
h[i]+=h[i/2];
}
cout<<h[n];
return 0;
}