大学物理缓考突击

基于真题卷的突击，遇到不会的就攻，直到能够独立解该题，不考虑做题速度。

2011-2012-2

T7 转动惯量 角动量守恒

常见物体的转动惯量

基本原理：$J=\sum m_ir_i^2$，一般用积分求解，但对常见模型可以记忆以加快速度

长L均匀细杆绕中点：$\frac{1}{12}mL^2$，可引申为矩形绕任意平行于某条边的直线旋转。

细圆环绕垂直于圆面且过圆心的线：$mR^2$

细圆环绕直径：$\frac{1}{2}mR^2$

圆盘绕垂直于圆面且过圆心的线：$\frac{1}{2}mR^2$

圆盘绕直径：$\frac{1}{4}mR^2$

外径R内径r的圆环绕垂直于圆面且过圆心的线：$\frac{1}{2}m(R^2+r^2)$，可由圆盘的推导而来

上述圆环绕直径：$\frac{1}{4}m(R^2+r^2)$

扇形或扇环绕垂直于圆面且过圆心的线，同圆形/圆环

扇形或扇环绕对称轴：$\frac{1}{4}(1-\frac{\sin \alpha}{\alpha})mR^2$；$\frac{1}{4}(1-\frac{\sin \alpha}{\alpha})m(R^2+r^2)$

球壳绕直径：$\frac{2}{3}mR^2$

球体绕直径：$\frac{2}{5}mR^2$

圆环（立体）绕垂直于圆面且过圆心的线：$m(R^2+\frac{3}{4}r^2)$，R为截面圆心到质心，r为截面半径

椭圆，品一品，就是你想的那样。应该不会考。

平行轴定理与垂直轴定理

平行轴定理：$J=J_0+MR^2$，其中$I_0$为过质心轴的转动惯量

垂直轴定理（仅适用于薄片）：$J=J_x+J_y$，即以薄片上的平面直角坐标系为基础作一条z轴，为新的转动轴

刚体力学与质点动力学的对应关系

刚体力学	质点动力学
力矩$J(kg\cdot m^2)$	$m$
角加速度$\vec{\beta}(s^{-2})$	$\vec{a}$
力矩$\overrightarrow{M}(kg\cdot m^2/s^2)$	$\overrightarrow{F}$
角速度$\vec{\omega}$	$\vec{v}$
角动量$\overrightarrow{L}(kg\cdot m^2/s)$	$\vec{p}(kg\cdot m/s)$

$$\overrightarrow{M}=\frac{\mathrm{d}\bold{L}}{\mathrm{d}t}$$

发现这个卷子没有参考答案，遂移步

2021-2022-2

T3 麦克斯韦速度/速率分布函数

理想气体状态方程

阿伏伽德罗常数：$N_A=6.022\times 10^{23}/\mathrm{mol}$

玻尔兹曼常数：$k_B=1.380649 × 10^{-23} J/K$，

理想气体状态方程：$pV=\nu RT$，分别为压强，体积，物质的量，普适气体恒量，绝对温度。普适气体恒量$R=k_B\cdot N_A=8.31\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm K)$

速率分布函数和速度分布函数

速率分布函数：f(v)是速度为v的分子在所有分子中的比例，故在非负数上积分为1且函数值非负

速度分布函数：F(v)是速度为$v_x,v_y,v_z$的分子的云图（？）

压强公式：$p=\frac{2}{3}n\overline{\varepsilon_t}$，其中n为分子数密度（$m^{-3}$），$\overline{\varepsilon_t}$为平均平动能，其计算式为$\overline{\varepsilon_t}=\frac{3}{2}k_BT$（根据理想气体状态方程和压强公式得到）

麦克斯韦速度分布律和速率分布律

速度分布函数：

$$F(v_x,v_y,v_z)=(\frac{m}{2\pi k_BT})^{\frac{3}{2}}\mathrm{e}^{-\frac{m}{2k_BT}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}$$

速率分布函数：

$f(v)=4\pi v^2F(v^2)=4\pi (\frac{m}{2\pi k_BT})^{\frac{3}{2}}\mathrm{e}^{-\frac{m}{2k_BT}v^2}v^2$

气体方均根速率：（由上式直接推得）m为单个分子的质量，M为摩尔质量

$$\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

最概然速率：速率分布曲线的极值点，$v_p=\sqrt{\frac{2 k_B T}{m}}=\sqrt{\frac{2 R T}{M}}$

平均速率：${v}=\int_0^{+\infty} v f(v) d v, \bar{v}=\sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}\approx1.60\sqrt{\frac{k_BT}{m}}$

T5 理想气体的内能

自由度$i=t+r+2s$

分子平均总能量：$\overline \varepsilon =(t+r+2s)\frac{1}{2}k_BT$，其中去掉转动自由度r和振动自由度s，即t=3，就是平均平动能

对单原子分子，t=3，r=s=0；对刚性双原子分子，t=3，r=2，s=0；对非刚性双原子分子，t=3，r=2，s=1。

理想气体的内能是所有分子的总能量之和，即$E=N\overline{\varepsilon}=\frac i 2 \nu RT$

T6 热力学第一定律的应用和熵

热力学第一定律的应用

比热：单位质量上升1K吸热

摩尔热容：每mol气体在某条件下升高1K所需热量

两种摩尔热容：$C_{V,m}=\frac{i}{2}R$，$C_{p,m}=\frac{i+2}2R$

定压定容热容比：$\gamma=\frac{i+2}i$

绝热过程：$pV^\gamma=\mathrm{const}$，其中$\gamma=\frac{i+2}{i}$

等温过程：$pV=\nu RT=\mathrm{const}$

热力学第二定律

内容：没有效率100%的热机

卡诺循环：绝热和等温围成的四曲边形$\eta=\frac A {Q_吸}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$

克劳修斯不等式：$\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_2}\le \frac{T_1-T_2}{T_1}$

熵的计算

对可逆过程：$\Delta S=\int_1^2{\frac{\mathrm{d}Q}{T}}$

T8 洛伦兹变换

钟慢、尺缩是啥比表述，用一个规则的变化来表达，到底是用缩短的尺子测量还是尺子在该参考系会缩短？实在是智障。钟慢同理。

以下结论适用于s’系以速度u相对s系运动：令$a=\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$，则

$$x’=\frac{x-ut}{a}$$

$$t’=\frac{t-\frac{u}{c^2}x}{a}$$

$$x=\frac{x’+ut’}a$$

$$t=\frac{t’-\frac{u}{c^2}x’}a$$

T9 相对论质量

动能不能用经典力学，只能用动质量减去静质量乘上光速的平方